东城区2010~2011学年度高三数学重点校数学联考 试题及答案要快~

2010-2011学年度东城区示范校数学综合练习答案（理科）
1.C 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.A 8.B
9． ，4 10．136；0.76 11． 12．
13． 14．点N在EG上；点N在EH上
15．解：（Ⅰ） ．
（Ⅱ）

．——————————————8分
∵ ，∴ ，

∴ ，—————————————11分
∴ ，所以，函数 的值域为 ．
16． 解：（Ⅰ）设事件 表示从甲箱中摸出红球，事件 表示从乙箱中摸出红球．
因为从甲箱中摸球的结果不影响从乙箱中摸球的结果，所以 和 相互独立．

所以 ．————7分
（Ⅱ）设 为5人中获奖的人次，则 ， —————————9分

．

所以，5人中至少有3人获奖的概率为 ． ————————13分
17．
解：（Ⅰ）证明：取 ，连结 和 ,
∴ ， ‖ ， ， ‖ ，
∴ ， ‖ ．
∴四边形 为平行四边形，
∴ ‖ ，
在矩形 中， ，
∴四边形 为平行四边形．
∴ ‖ ， ‖ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ‖平面 ． ————————4分
（Ⅱ）连结 ，在正四棱柱 中，
平面 ，
∴ ， ，
∴ 平面 ，
∴ ．
由已知 ，得 平面 ．
∴ ， ，
在△ 与△ 中， ， ，
∴△ ∽△
∴ ， ．—————————9分
（Ⅲ）以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系．
．
，
由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，所以 ．
∴ ，
∵二面角 的平面角为锐角，
∴二面角 的余弦值为 ． —————————13分

18． 解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ，且 ．
令 ，得 ． ——————————————2分
当 时， ， ，函数 在 上是增函数；

当 时，在区间 上 ，函数 在 上是减函数；
在区间 上 ，函数 在 上是增函数．———6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
（1）若 ，则在区间 上 ，函数 在 上是增函数，
此时， 取最小值 ，
由 ，得 ；————————8分
（2）若 则在区间 上 ，函数 在 上是减函数，
此时， 取最小值 ，
由 ，得 ；———————10分
（3）若 ，
则在区间 上 ，函数 在 上是减函数，
在区间 上 ，函数 在 上是增函数，
此时， 取最小值 ，
由 ，得 ；——————12分
综上所述，存在实数 ，使得 在区间 上取得最小值3．
——————————13分
19． (Ⅰ)解： 由已知
∴ ，
∴ 椭圆方程为 ．——————————————5分
(Ⅱ) 设直线 方程为 ，
由 得 ．
设 ，则 ．—————7分
设 ，则由 共线，得
有 ．同理 ．
∴ ．——————9分

∴ ，即 ，以线段 为直径的圆经过点F；————12分

当直线 的斜率不存在时，不妨设 ．则有
,
∴ ，即 ，以线段 为直径的圆经过点F．
综上所述，以线段 为直径的圆经过定点F． ———————————14分
20． 解：（Ⅰ）由 及 ，
得 ，
∴
∴ ———————————————2分
∴数列 是首项为 公差为 的等差数列，
∴ ．————————4分
（Ⅱ）∵ ，
∴ ．
∵ ，

∴ ．————————————9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ， ①
有 ， ②

①-② 得 ，
∴ ， ——————————10分
又 ，
∴ ，
∴ 是递增数列，且 ，
∴ 满足条件的最小正整数 的值为6．————————13分